丽莎·皮奇里洛，13岁.

摄影:Kelly Davidson

一个难以破解的结

康威结问题困扰了数学家50多年. 13岁的Lisa Piccirillo在不到一周的时间里解决了这个问题.

[编者注:本文的另一个版本最初出现在 波士顿环球报星期日杂志.]

半个世纪前, 一位才华横溢的年轻数学家约翰·霍顿·康威发现, 最重要的是, 一个结. 这不是你在现实世界中可能遇到的那种结. 如果你想的话，你当然可以用字符串创建它, 但是一般来说, 它只存在于康威的计算中. 在数学的一个令人困惑的角落里，有成千上万种这样的概念缠结，叫做“结论”, 但即便如此，康威的发现也很特别——不是因为它是什么, 但不管结果如何. 是的, 这很令人困惑, 但是说到打结理论, 最好接受事情变得有点模糊的事实.

无论如何，康威的结乍一看并不引人注目. 只有11个交叉点, 或者重叠的地方, 按照高维结理论的标准，它是相当难以描述的. 但是这个结有一个特性，使它成为严密的数学电子游戏正规平台的对象. 康威, 谁最近死于COVID-19并发症，享年82岁, 对数学领域做出了无数的贡献, 然而，专家们会一次又一次地电子游戏正规平台他的结. 一次又一次, 这些杰出的数学家无法找到后来被称为康威结问题的解.

这个问题与证明康威结是否是一种叫做“切片”的东西有关,"这是结理论中的一个重要概念，我们稍后会讲到. 在所有成千上万的航节中，只有12个或更少的交叉点, 数学家们已经能够确定除了康威结之外的所有结的光滑性. 50多年了, 这个结固执地拒绝解开它的秘密, 在此过程中获得了一种神话般的地位. 它的雕塑甚至装饰在剑桥大学艾萨克·牛顿数学科学电子游戏正规平台所的大门上. 

然后, 两年前, 一个不知名的电子游戏正规平台生, 和BC明矾, 名叫丽莎·皮奇里洛的人在参加一个数学会议时了解了打结问题. 一位发言者在讨论电子游戏正规平台结理论的挑战时提到了康威结. “例如，”说话的人说，“我们仍然不知道这个十一叉结是不是切片.” 

那太荒唐了皮西里罗一边听一边想. 这是2018年. 我们应该能够做到这一点. 一周后，她提出了一个震惊数学界的证明.

 

Piccirillo

结理论是被称为拓扑学的数学领域的一个分支专业, 哪个与空间电子游戏正规平台有关. 它是用来干什么的? “人们记住的答案是拓扑结构对理解DNA和蛋白质折叠很有用,几个月前，我们坐在离她在剑桥住的地方不远的一个户外庭院里，戴着口罩，保持着整整十英尺的距离, 麻萨诸塞州. “显然，这些东西很长，它们喜欢粘在自己身上, 所以它们都打结了, 拓扑学包含了结理论.”

当拓扑学家想到结的时候, 然而, 他们不像你和我想象的那样:一段绳子，中间扭了一两圈. 对他们来说, 一个结更像是一根延长线，两端被插在一起，整个东西被扔到地板上，纵横交错. 它本质上是一个闭环，在不同的地方，环路与自身交叉.

现在，让我们拿其中一个结来思考一下它存在的空间. 对拓扑学家来说，结实际上是一种球体. 事实上，拓扑学家发现球体无处不在. 对他们来说, 圆是一维球体, 而橘子周围的表皮是一个二维球体. 这就是让人惊讶的地方:如果我们把整个橙子粘到另一个上, 拓扑学家将其视为一个三维球体, 它可以被看作是一个四维橙子的表皮. 不要担心你无法为自己召唤出这样一个更高维度的图像. 除了几百位专家，没有人能真正做到.

皮奇里洛已经在加入那几百人行列的路上了, 在2018年的夏天, 在一次数学会议上，一位演讲者说了一些改变她职业生涯轨迹的话. 演讲者展示了一张描绘康威结的幻灯片，并解释说数学家们长期以来一直怀疑这个结并不存在, 事实上, 片, 但没人能证明这一点. 那么一个结被切片是什么意思呢? 让我们暂时回到那个四维的橙色. 在它的内部有圆盘——把它们想象成一个盘子的表面. 如果一个三维的结，比如康威的结，可以束缚这样一个圆盘，那么这个结就是切片的. 如果不能，那么它就不是切片.

拓扑学家使用被称为不变量的数学工具来尝试确定切片, 但是半个世纪以来, 这些工具无法帮助他们证明康威结不是切片的普遍观点. 两年前坐在那个演讲厅里, 然而, Piccirillo立刻意识到，她在另一个拓扑领域使用的技术可能有助于不变量解决康威结问题. “我立刻意识到，我正在做的一些完全出于其他原因的工作至少可以尝试回答这个问题,”她说。. 她第二天就开始电子游戏正规平台这个问题.

 

Piccirillo
Piccirillo

现年29岁的PICCIRILLO在缅因州的格林伍德长大，那里的人口不到900人. 她是一名优秀的学生，她的母亲在中学教数学(她的父亲是一名焊工，从事销售工作), 但她并没有什么兴趣表明她会成为世界级的数学家. 

“我是一个优等生，”她告诉我. “我骑过盛装舞步. 我在教堂的青年小组中非常活跃. 我演戏剧. 我在乐队里. 我什么都做了.换句话说，她不是那种四岁就开始编程和构建算法的数学天才. 

2009年，皮奇里洛来到BC大学的第一年, 她对戏剧之类的科目和对数学一样感兴趣. 在那年的微积分课上，她结识了J. Elisenda格雷斯比. “丽莎是我在不列颠哥伦比亚省教的第一个班的学生，”格雷斯比回忆说. 这不是一门高等数学课程——可能更适合那些打算主修科学的人，而不是那些打算以数学为职业的人.尽管皮奇里洛缺乏“金童数学家”的才华，这些人从小就被培养出来, 她的创造力和智慧非常突出, 格雷斯比很有兴趣帮助她发挥才能. “通常得到指导的人都是符合这个模式的人，”她说. “我们不只是在谈论男性，我们在谈论白人男性. 我不知道其他人对丽莎会有什么反应. 我只知道，我确实认为她吸引我的部分原因是我意识到她和我很像.”

“她真的鼓励了我，”皮奇里洛谈到格雷斯比时说. “伊莱真的让我尝试了另一门数学课，然后喜欢上了下一门课. 我已经开始前进了.皮奇里洛后来在不列颠哥伦比亚省遇到了另一位导师，乔舒亚·格林教授. “那是2011年秋天，”格林回忆说. “她是我教的第一个班的学生. 我永远不会忘记其中一次考试. 我打印了双面，丽莎提前完成了. 当我复习考卷时，我发现她忽略了最后一页. 她是唯一一个这么做的人. 不管怎样，她在班上得了最高分. 她很有才华.” 

到了皮奇里洛大四的秋天，她开始学习入门级的电子游戏正规平台生课程. 下个学期, 她上了更专业的电子游戏正规平台生班, 哪些被称为主题课程. "在本科时选修一门专题电子游戏正规平台生课程,格林说, “那很特别, 非常不寻常.”

皮奇里洛在电子游戏软件期间作为数学家的发展就是证明, 最重要的是, 她自己的才华和承诺. 但它也凸显了另一件事, 还有一个完整的导师社区, 资源, 以及在Piccirillo被录取前几年由数学系精心设计的支持系统, 所有这些都是为了确定和培养有前途的年轻数学家.

 


SOLOMON FRIEDBERG教授于1996年来到电子游戏软件, 那时候数学系迎来了一批令人印象深刻的新员工. 在接下来的几年里, 弗里德伯格确信，该部门需要扩大其服务范围. 当时，不列颠哥伦比亚大学唯一提供的数学学位是文学学士学位. 所罗门想培养一个博士学位.D. 程序, 同时还为对数学科学感兴趣的本科生设立了理工科学士学位.

为这样一个项目辩护的机会是弗里德伯格在2007年同意担任系主任的主要原因. 他告诉我:“在我担任主席的第一年，我们进行了一次部门自习电子游戏正规平台。. “我们知道我们需要创造一个小的Ph值.D. 程序. 不列颠哥伦比亚省不打算采用电子游戏正规平台生做大量教学的模式. 这不是我们的计划，也不是我们的使命.考虑到这一点, 该部门最终提出了一个以两大领域为中心的计划, 一个是数论，另一个是几何学和拓扑学这两个密切相关的学科. 这个提议碰巧得到了大学领导层的认可.

大约在同一时间，BC大学在全校范围内进行了一系列的项目审查. “Cuberto Garza是这次审查过程中的新任教务长, 和, 中途, 我在现在的莫里西学院担任院长一职,大卫·奎格利说, 现在谁是教务长和院长. “这些项目审查导致我们在某些领域改变了方向, 缩减或关闭某些项目. 但我们也发现了校园里一些非常有前途的新兴优势, 包括认识到我们数学系有多么珍贵.”

当弗里德伯格向系里的新博士提出申请时.D. 程序, 他强调，他相信这将使BC的每一位数学学生受益, 本科生和电子游戏正规平台生都一样. “数学系有一个完整的生态系统，”他告诉我. 新的本科生可以和更高级的本科生交流和学习, 谁在学习电子游戏正规平台生课程的同时又能与电子游戏正规平台生互动. 电子游戏正规平台生, 与此同时, 能接触到博士后的才能和经验吗, 谁会从教师的指导中受益. “Ph值.D. 项目不仅不会减少本科生的经历,弗里德伯格说, 这就加深了它, 并建立了不列颠哥伦比亚省的国际学术地位.”

说服, 大学批准了这个新项目, 数学系开始招聘聪明的年轻教员. 今天, 人们普遍认为，该部门还包括第三个重点领域, 代数几何, 哪一个是从数论小组中脱颖而出的. 大约三分之一的数学系本科生现在攻读学士学位.

“在最初的几年里，索尔·弗里德伯格和他的同事们做了很多事情,奎格利说. “他们推出了Ph.D. 程序, 当然, 但我想说更重要的是, 他们只雇佣了一群了不起的年轻教员, 其中一些人是丽莎·皮奇里洛的同事.事实上，格雷斯比和格林也在其中.

 

2013年毕业后，皮奇里洛选择继续攻读博士学位.D. 因为德克萨斯大学出色的拓扑学项目，以及该校作为数学专业女电子游戏正规平台生的好去处的声誉. 2014年，只有29%的数学和科学博士.D.S被授予女性, 根据美国国家科学基金会, 但在德州, 大约40%的数学电子游戏正规平台生是女性. 

总的来说，皮奇里洛作为一名女数学家感到受到欢迎和鼓励. “但有时候，事情还是会发生，”她告诉我. “例如, 在电子游戏正规平台生院, 我会在部门邮箱里收到评论我外表的留言.”

整体, Piccirillo在德克萨斯大学的六年里表现出色, 找到强大的导师和支持性的电子游戏正规平台社区. 那个时候，她与数学本身的联系正在加深. 她喜欢在脑子里反复思考问题, 想想一个更高维度的形状如何被操纵成一个完全不同的形状. 这是一项令人兴奋的、创造性的工作，既关乎美学，也关乎一个特定的结果. “当你进行计算时, 有时候你可以使用一些非常聪明的技巧，或者你可以是一个真正的人，而不是一台计算机来执行计算,Piccirillo说. “但当你提出一个合乎逻辑的论点时——那完全是你的.”

在学习之余，皮奇里洛喜欢制作漂亮的东西. “你走进了她的房子,詹姆斯·法尔回忆道, 一位来自德克萨斯大学的朋友，目前在耶鲁大学做博士后, 感觉很清新，有海滩的感觉, 乡村, 但几乎是严肃的，就像你在博物馆里，拿着她亲手摘的干花，用绳子绑在一起. 她画的各种漂亮的版画和她收集的地图. 她有很强的审美观. 我认为这并非完全不典型. 人们喜欢的数学通常被认为是美丽的或深奥的.Piccirillo雕刻了一段时间的木勺, 并制作了大量的鱼和蔬菜木刻版画. 她和室友威利·詹宁斯(Wiley Jennings)一起做了一张餐桌. 有一段时间，她痴迷于购买和修理老式日本摩托车.

 

听到康威结问题后的第二天, Piccirillo, 然后27, 她坐在办公桌前，开始寻找解决办法. 因为她的大部分电子游戏正规平台生工作都涉及到构建不同但共享一些4D属性的结对, 她已经知道任何两个共享同一4D空间的结也共享切片——它们要么都是切片的，要么都不是切片的. 因为她的目标是证明康威结不是切的, 她的第一步是在同样的四维空间里想出一个完全不同的结, 她解释说. “那我就尽力证明另一个结不是切的.”

在接下来的几天里, 她手绘结, 然后, 试图证明它不是切片, 她会把它输入电脑, ，并基于结的数据, 也许是基于它的交叉点的样子或者你可以从结中得到的其他数据, 该算法输出一个整数.“不到一个星期, 皮奇里洛制造了一个完美的结:它与康威的结具有相同的四维性质, 算法发现它不是切片. 

50年来无数数学家都失败了，而她却突然成功了. 她解决了康威结问题.

 

这一系列的结图是Piccirillo用来解决一个困扰数学家几十年的问题的两个步骤之一.

 

突破后不久, Piccirillo参加了与德克萨斯大学数学教授Cameron Gordon的会议. 当她提到她的解决方案时，戈登表示怀疑. 他请皮奇里洛陪他走过台阶. 然后他让我写下来, 就像黑板上写的那样,她告诉我, 然后他变得非常兴奋，开始大喊大叫.”

皮奇里洛把她的解决方案提交给了 数学年鉴著名的数学杂志同意发表她的论文. 当我问詹姆斯·法尔, 耶鲁大学博士后, 来解释发表论文的重要性 年报他笑了几秒钟. “它是数学领域最重要、最有影响力的期刊，”他说. “这就是我笑的原因. 太神奇了，太酷了!”

结解决

皮奇里洛创造的这个结最终解决了著名的康威结问题.

大约一年后，皮奇里洛的论文发表在杂志上, 她的解决方案已经传遍了整个数学界. 2019年从德州大学毕业后，她在布兰代斯大学开始了博士后工作. “我最后一次见到她是在一月份,威利·詹宁斯说, 她在奥斯汀的室友, 刚刚获得博士学位的人.D. 在斯坦福大学. “她当时正在斯坦福大学进行一次教师访问. 作为一个做了一年或更少(博士后电子游戏正规平台)的人——刚刚完成博士学位——被邀请.D.我是说，这太疯狂了. 这是前所未闻的.”

博士后职位通常为期三到四年，但皮奇里洛发现自己的需求量很大. 今年7月，她在麻省理工学院开始了一个新的终身职位——助理教授. 这就像一阵旋风，我想知道她的生活发生了什么变化. 她承认有时会有压力感, 基于她已经取得的成就. 在实践中, 数学是关于试图证明简单的陈述和失败-基本上所有的时间, 对每个人来说. “So,”她说。, “我必须重新学习如何接受这样一个事实:大多数时候，当我感受到这些期望的重量时，我无法证明一些非常简单的事情.”

当我问起她的目标时, Piccirillo说，她的首要任务之一是帮助发展和扩大数学社区. “当然有很多年轻女性, 有色人种, 非异性恋或非性别二元的人，他们觉得自己被数学机构孤立了,”她说。. “对我来说，尽我所能帮助减轻这种情况真的很重要.她继续说，要做到这一点，一个重要的方法是帮助打破数学神童的神话. 

当大学组织数学会议时, 她说, 他们应该避免邀请那些“演讲速度很快，试图向你展示他们有多聪明，他们的电子游戏正规平台有多努力”的演讲者. 这对谁都不好, 但这对年轻人或那些觉得自己不属于这里的人来说尤其不好.“观众们不知道的事情, 她说, 难道也没有人真正理解它吗.

“要成为一名成功的数学家，你不需要非常‘聪明’——不管这意味着什么,皮奇里洛说. “有一种观点认为数学家是天才. 他们中的很多人似乎都是参加奥运会的神童. 事实上, 你根本不需要有这样的背景才能擅长数学, 大多数数学家, 包括许多真正伟大的人, 不要来自那种背景.”

他们中的一些人甚至做出了改变数学进程的工作.

粉笔插图由凯瑟琳·欧文斯

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